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¿De qué es este examen?, me preguntaron


Cada día estoy más convencido ... la inmensa mayoría de las personas nunca entendió las matemáticas. Los polinomios, las ecuaciones, la geometría analítica de la escuela eran montones de fórmulas sin sentido que nunca relacionaron con nada y, aún más triste, nunca se dieron cuenta que eran lo mismo en distintos temas, que nada había que aprender nuevo.
Por supuesto que no hay pedagogo que se precie que las haya entendido nunca pero, eso no es óbice para que opine que cualquiera puede estudiarse el libro y enseñar matemáticas. Podemos ir en una dirección peor de la que hay que ir, pero es difícil.



Exámenes, ¿para demostrar qué?


Llevaba avisando a mis alumnos de 4º de la ESO que el examen no iba a ser un examen estándar. Que hay que pensar. Que Ruffini no es el fin sino un medio y, en muchas ocasiones hasta innecesario. Que lo importante es entender lo que estudian y para qué lo estudian ...

¿De qué me sirve hacer ejercicios de radicales y exámenes de radicales si no se usar los radicales en ningún contexto fuera del propio examen?
¿De qué me sirve hacer ejercicios de aproximación y redondeo y exámenes si no sé interpretar un texto que hable del asunto y utilizar mis conocimientos para entender y aprender sobre algo que leo?

Aquí os dejo el segundo examen que hemos hecho en 4º de la ESO este curso 2011-2012. Posiblemente, una vez más, un desastre.
El otro día me decía un compañero que mis exámenes eran más fáciles que los suyos y, también me decía que le daban envidia. Que cada uno lo interprete como quiera. Yo sé que mis exámenes son más fáciles que los suyos y que buscan que el alumno demuestre que ha entendido y que lo que ha aprendido es capaz de usarlo fuera de la pura repetición. ¡La verdad es que los alumnos piensan que mis exámenes son mucho más difíciles!
En este examen que tenéis aquí, unos cuantos de los alumnos de 4º de la ESO no han entendido el texto de la segunda pregunta ... pero no os preocupéis, hacen Ruffini como autómatas programables, siempre que la raíz del polinomio en cuestión sea un número entero, claro.


Trigonometría y triangulación

Algunas veces, cuando a los profesores de matemáticas nos obligan a buscar una utilidad a las matemáticas que enseñamos en la escuela más allá de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), recurrimos a la Trigonometría.
Es seguro que, ninguno de nosotros ha utilizado nunca la Trigonometría. Sólo algunos pocos "zumbados" nos gusta observar los vértices geodésicos cuando vamos por el monte y por eso hablamos de ellos a nuestros alumnos a pesar de que hoy están "out" (pasados de moda). Quizá en algún caso se nos ocurra relacionar GPS con Triangulación y ahora (en pleno 2011 cuando escribo esta entrada) y por varios años, el sistema europeo Galileo ...
Mucho más difícil es que los conceptos de exactitud y precisión sean usados, de verdad, en un problema de Trigonometría de la escuela.


Pero si alguien quiere aprender mucho sobre todo ello, leer sobre historia de la Revolución francesa y sobre muchas cosas más que han determinado de manera inestimable el desarrollo global del comercio y  la ciencia en el mundo, os recomiendo : El metro del mundo -Denis Guedj- .
En él podéis leer perlas como estás:

"- 'Me dicen, señor Cassini, que vais a volver a medir el meridiano que vuestro padre y vuestros antepasados midieron antes que vos, ¿creéis poder hacerlo mejor que ellos.'
Desconcertado durante un instante por el reproche real, Cassini responde: 'Señor, no me preciaría en absoluto de hacerlo mejor si no tuviese una gran ventaja sobre ellos. Los instrumentos que usaron mi padre y mi abuelo medían los ángulos con una precisión de sólo quince segundos. El señor caballero de Borda, aquí presente', y señaló a Borda, de pie en medio de sus colegas, 'ha inventado uno que que me dará esa medida de los ángulos con precisión de un segundo; y ése será todo mi mérito.' "



" Si se pretende determinar la distancia entre dos puntos en el globo terráqueo bastante alejados entre sí, el método que emplea la agrimensura, poner uno tras otro el patrón de medida, es inaplicable. Amoldándose al relieve, la línea que une esos dos puntos tiene, con toda evidencia, mayor longitud que el arco buscado. ¿Cuánta? Imposible de calcular con precisión. Sin contar con el hecho de que los accidentes del terreno, vías de agua, precipicios, montañas, etc., impiden a menudo extender de forma continua la línea con que se mide.
Es preciso inventar un método que no dependa de la configuración del terreno, un método que proporcione independencia a la medida respecto de las variaciones del terreno. Este método es la triangulación. Inventado por el holandés Willebrord Snellius a comienzos del siglo XVII, revolucionará la medida de los meridianos. En vez de medir lo lineal con lo lineal como se había hecho hasta entonces, medirá, de un modo infinitamente más simple, lo lineal con lo angular.'



Aquí os dejo el primer examen que hemos hecho en 1º de Bachillerato.

aunque, si te parece difícil, haz primero un examen de 2º de la ESO. ¿Qué sentido tienen las cosas si realmente no las entiendes si sabes por qué o para qué?


¿Para qué sirven las matemáticas?. Un ejemplo

Imagina, contaba esta semana a mis alumnos el siguiente dilema:

Si alguien tiene una cierta cantidad de algo que le gusta y le ofrecen duplicar lo que posee o aumentarlo en una unidad, ¿qué debe elegir?.

- Depende, fue la respuesta más extendida.

- Si, depende, pero depende de qué, depende cómo, depende cuándo ...

[...]
El problema principal de Lawrence era su vagancia. Había llegado a la conclusión de que todo era más simple si, como en el caso de la visión de rayos X de Superman, se limitaba a mirar más allá de las distracciones cosméticas y apreciaba el esqueleto matemático subyacente. Una vez que habías conseguido descubrir la matemática de una situación, ya lo sabías todo y la podías manejar para alegría de tu corazón simplemente con un lápiz y una servilleta. 



 Criptomicon. El código Enigma - Neal Stephenson -


Nuestro problema queda tan trivial encontrando las matemáticas que tiene detrás ...:

- Sea  x  la cantidad que tengo de algo que me gusta.
  •  Sólo necesito saber cuándo:
    2x>x+1
    ( Lo cuál queda reducido a solucionar inecuación trivial)
    x>1
  • Y cuándo:
    2x<x+1
    ( Lo cuál queda reducido a solucionar inecuación trivial)
    x<1
  • Y cuándo:
    2x=x+1
    ( Lo cuál queda reducido a solucionar ecuación trivial)
    x=1
- Así que:
  • Si tengo más de una unidad de lo que me gusta, será preferible el doble.
  • Si tengo menos de una unidad de lo que me gusta, incluyo aquí la posibilidad de tener nada ( 0 ) ó incluso tener deudas de lo que me gusta (-3), será mejor que me den una unidad.
  • Si tengo exactamente una unidad de lo que me gusta, será indiferente porque el doble coincidirá con una unidad más.

Mi homenaje a una futura Hipatia

Una vez, no hace mucho tiempo ...

tuve una alumna llamada Elena. Desgraciadamente pasaré a la historia por ser su último profesor de matemáticas. Como dirían mis detractores, después de que yo le diera clase en 1º de Bachillerato, dejó las matemáticas en 2º.
Pero era, y es, una buena alumna. Alquien a quien no dudaría en asignar un alto grado de paideia.
Me he acordado tanto de ella, he sentido muchas veces pena egoista de que personas así tuviesen claro que las Matemáticas no son lo que necesitan para el fin que buscan, pero también me he alegrado de poder disfrutar mientras fueron mis alumnas.
Alguien que es capaz de escribir un hermoso relato y también lo es de entender y reflejar con naturalidad que:
Sif(x)= x Sig(x)= x 2 }{ fg(x)=| x | gf(x)=xx0
Ergo ... la ráiz y el cuadrado no se van



Ayer la encontré por el pasillo y, además de la alegría  de saludarla me asaltó la felicidad tan conocida de su interés por aprender. Me dijo que una amiga le había enseñado ese famoso vídeo que se ha popularizado en internet de la multiplicación de números haciendo rayas y que sentía la curiosidad del ¿por qué? :

Un día pasaré por el departamento para que me lo expliques.
- Encantado de hacerlo, por supuesto.


Así que, a todos os insto a observar que, esta forma de multiplicar se basa en el mismo principio en que se basa nuestro algoritmo de la multiplicación.
-  "Todas las cifras del 321 se van multiplicando ordenadamente por todas las cifras del 123 y, después, ordenadamente, se suman los resultados"
- Pero, ¿no es acaso cierto que, si  3·2=6 , cuando dibujes 3 líneas que se cruzan con otras 2, quedarán exactamente 6 puntos de intersección o corte?

Las mil y un Hipatias

Estoy leyendo ahora "Las mil y una Hipatias" y, siendo un libro de la Colección "La Matemática y sus Personajes", de la editorial Nivola, me he encontrado con la agradable pero extraña sensación de no estar leyendo un libro relacionado con las matemáticas.

Dejemos a un lado mi opinión políticamente incorrecta de que la "discriminación positiva hoy" no es un ejemplo de igualdad entre hombres y mujeres. Admito que esto pueda parecer a algunos/as un síntoma claro de machismo o incluso de misoginia. Pero hasta en esto me he visto gratamente sorprendido por la delicadeza del trato. El libro podría perfectamente haberse titulado "Las mil y una Hipatias, las mil y una maestras, los mil y un maestros". Tiene empero el valor añadido de destacar que, las mil y una maestras, tienen además un mérito añadido tan inmenso, tan difícil de evaluar que lo hace infinitamente más elogiable, porque el contacto de la mujer con la ciencia y la cultura ha sido un camino casi imposible en una historia fijada por los designios de los machos.

Pero destaco, como las autoras destacan, los conceptos que son centrales en el discurso de la obra, los conceptos que se aplican a la figura de Hipatia y que yo hago extensibles a los verdaderos maestros de todos los tiempos (siento que, en este caso, el propio lenguaje pueda inducir a pensar sólo en hombres, cuando no es esa mi intención). A esos mil y un maestros que cada día se levantan por la mañana y se dirigen a sus aulas. A esos mil y un maestros que, no son todos, pero que son muchos. A aquellos que, de verdad, rezuman "Areté y Padeia". A aquellos que, como el propio libro indica, pueden responder a ...


"Miré a Rolf: por fin aparecía Hipatia II. Entendí que ella había sido la maestra de Deianira, quizá todas las veces que la había mencionado se refería a 'la otra' Hipatia, pero por la descripción que hizo yo no hubiera podido diferenciarlas. Era la que enseñaba el amor por el saber, el placer por el conocimiento, la independencia del criterio, el respeto por lo desconocido; la que les exigía coherencia lógica, la que se basaba en datos empíricos, la que les estaba labrando una conciencia política de ciudadanos, independiente de su status social, la que se enfrentaba al poder y el dogmatismo en defensa de la razón; la que no distinguía entre hombres y mujeres; [...] Una Hipatia resucitada o reencarnada, qué más da. O muchas Hipatias, un ejército de Hipatias luchando con sus enseñanzas contra la alienación que crece larvada en el seno de la mediocridad ..." (1)

Y tan sólo un poco después, ...

"- Por supuesto: el buen maestro enseña sobretodo a pensar. ¿No conoces la frase famosa de Hipatia I?
 - No
 - 'Pensar, aunque sea erróneamente, es mejor que no pensar'" (2)


Las citas (1) y (2) se las leía el último día a mis alumnos de bachillerato mientras se sentaban en sus pupitres y luchaban por mantenerse en ellos y poner un mínimo de atención en una clase en la que muchos de ellos no querían estar después de haber pasado muchas otras horas de esta semana en otras tantas en las que tampoco querían haber estado. Lo que entendieron o escucharon de ello queda en el entorno de sus mundos privados.

La cita (2) se la leía a mis alumos de 2º de la ESO. Algunos que me conocen desde hace más tiempo y son capaces de pensar tal vez fueran más allá, la mayor parte no distingue entre pensar y mecanizar de manera absurda que para sumar dos fracciones hay que hacer denominador común sin preguntarse nunca ¿por qué?

Un problema creativo, con los datos justos

El problema que planteo aquí está sacado del   Seminario de problemas para alumnos de ESO y Bachillerato, primera Hoja del curso 2011-2012.

Aprovecho la ocasión para recordar todas las actividades que desde el Departamento de Matemáticas de la Universidad de la Rioja se están haciendo bajo el título de Taller de Creatividad Matemática



Antes de ir a su enunciado, vamos a realizar una taxonomía muy especial de los problemas:
  •  Hay problemas a los que les faltan datos: en estos casos, lo más probable es que no llegemos a una solución concreta, casi segur que encontraremos más de una solución posible. Uno de los más bellos que conozco reza así:
Dos matemáticos se encuentran después de mucho tiempo sin verse: - ¿Cuánto tiempo sin vernos?¿Cómo te ha ido la vida?¿Te casaste, tienes hijos, ...?
- Sí, me casé y tengo tres preciosas hijas.
- ¿Qué me dices?¿Y cuántos años tienen?
- El producto de sus edades es 36 y, la suma de las mismas es el número de la casa de enfrente.
 -¿¿?? ...¿¿??... Pues he de decirte que me falta un dato.
- ¡Cómo se nota que eres matemático! Ciertamente, con los datos que te he dado, como bien has visto, habría más de una alternativa para el problema. Así que, la que más años tiene, toca el piano.
- Ciertamente, ahora tengo los datos necesarios y las edades son ... 
  • Hay problemas a los que les sobran datos: aquí podemos encontrarnos dos modalidades:
    • Aquellos en que los datos que sobran son simplemente redundantes y podrían haberlos omitido porque se deducen de los demás.
    • Aquellos en los que los datos sobrantes son contradictorios con otros y, por tanto, en modo alguno llegaremos a una solución.
      Entran aquí un tipo de "situaciones" de las más famosas en la historia de las matemáticas las demostraciones por reducción al absurdo. Su principio es, suponer un conjunto de datos de partida para llegar a una contradicción. Si el número de datos de partida está controlado y, "tan sólo uno de esos datos" es el que no está contrastado, concluimos que, precisamente ése es el dato que sobra, el que está mal.
      Tal vez la más famosa "demostración" (el más famoso problema por reducción al absurdo partiendo de un dato erróneo) sea la que Euclides recoge para llegar a la conclusión de que hay infinitos números primos.
  • Hay problemas que tienen los datos justos: aunque algunas veces, uno o varios de esos datos pasen desapercibidos y sean esenciales para su resolución. Éste es el caso del problema que enunciamos y explicamos más abajo.
    En un cuadrado ABCD se traza un punto M tal y como indica la figura. El triángulo AMB tiene toda la pinta de ser equilátero, ¿lo es de verdad? 

Precisamente la clave de la resolución de este problema está en que hay un dato que nos dan pero que, muy probablemente no nos planteamos que tenemos que usar. El dato es que se trata de un cuadrado y, aquí os dejo un applet de geogebra para que observéis la importancia de ese dato. Si queréis ver una solución podéis acudir a la página del   Seminario de problemas para alumnos de ESO y Bachillerato  pero, observad que, el dato del cuadrado se usa de forma implícita y no explícita. 

Un problema de potencias de derecha a izquierda

Todos los estudiantes, o casi todos, de más de 11 años saben que: 10·108=109 Pero en matemáticas, sucede muchas veces que, las cosas se ven muy bien de derecha a izquierda pero no se ven en absoluto de izquierda a derecha o viceversa, que "tanto monta".
Este es un ejemplo excelente porque, casi ningún alumno es capaz de observar al primer glope de vista que:
109=10·108
Y esto significa, como es obvio, que: 109 son 10 veces 108

Así que, el problema elemental de potencias que aquí propongo, que lo podéis encontrar en el examen de la entrada anterior ( Decíamos ayer...), y que repito hasta la saciedad cada año para llevarme la misma sorpresa, podría ser, con ligeras variantes, este:

Una estrella se encuentra de la Tierra a: 3,11 · 10 32 u . Otra estrella, alineada con ellas se encuentra de la Tierra a una distancia de: 3,11 · 10 33 u . Haz un dibujo a escala de la posición de la Tierra y las dos estrellas representando cada una por un punto con los nombres ( T, E1, E2)

Nada más evidente puesto que, la disntacia de la Tierra a la segunda estrella es, exactamente, 10 veces la distancia de la Tierra a la primera 3,11 · 10 33 = 10· ( 3,11 · 10 32 )
Así que, aquí tenemos, una posible solución, en la que, como hemos indicado, la distancia de la Tierra a la Estrella2 es, 10 veces la distancia de la Tierra a la Estrella1:

Decíamos ayer ...

Dice la historia que, hasta Fray Luis de León fue objeto de la persecución de la Santa Inquisición. El por qué, con toda seguridad, envidias y rencillas que llevaban las más insignificantes cuestiones a magnos ataques contra la ortodoxia más absurda.

Cinco años estuvo encarcelado y, al volver a su cátedra de la Universidad de Salamanca parece que, en su primer clase, empezó ésta como solía ... "Decíamos ayer ..."
Así que, yo también decía ayer, hace ya un año, hablando del número áureo ...

Y como todo retorna, se me ha ocurrido que el número de oro quitándole su mágia, su poesía y su encanto, se convierte en un buen ejemplo para el majo de radicales sencillos.

 Así que este es uno de los elementos centrales de este nuevo examen que les he puesto a mis alumnos de 4º de ESO para que, manejen radicales sencillos, sepan lo que realmente son los números grandes o entiendan el error al manejar cantidades ...

Una colección de exámenes

A petición de alguno de mis alumnos pongo aquí los enunciados de los últimos exámenes. Dos de ellos, los dos últimos, no se los llevaron para casa así que, algunos querían tenerlos o que viesen los enunciados sus padres.
Se que hace mucho que deje el blog en "stand by" por circunstancias que no vienen al caso, aunque espero retomarlo en el próximo curso. Por ahora, aquí van los enunciados:

Potencias de un número complejo

Casi siempre, en casi todos los libros, lo que nos encontramos es el típico dibujo de las raíces de un complejo formando un polígono regular. El que te he colocada en la entrada anterior del blog

Pero Hay cosas incluso mucho más bellas:

POTENCIAS DE UN COMPLEJO


Si no funciona, comprueba que tienes la versión java 1.4(o superior)Instalar Java
)


Raíces de un complejo


RAÍCES DE UN COMPLEJO

Si no funciona, comprueba que tienes la versión java 1.4(o superior)Instalar Java

Dos exámenes recientes de distintos cursos

Aquí cuelgo los dos últimos exámenes de 4º de ESO y 1º de Bachillerato.

Cuando digo muchas veces que la mayor parte de las cosas que se hacen en las matemáticas de la Secundaria y Bachillerato son siempre lo mismo, siempre lo mismo, siempre lo mismo, ..., valga el ejemplo de
Multiplicar
Lenguaje algebraico
Propiedad distributiva
Igualdades notables
Racionalización con expresiones conjugadas
Números complejos conjugados

mis alumnos nunca me creen.

Así que, algunas veces pongo las preguntas de un curso en otro y de otro en uno  ...


Exámenes difíciles - Mundo real -

¡Qué examen tan difícil! 
¡Con lo que había estudiado! 
¡No voy a saber cómo aprobar esta asignatura!
¡Siempre poniendo problemas raros que no hay quien los entienda!
¡Estoy hundido!
¡Se me quitan las ganas de estudiar!

¿Pero cuando entenderán que no es así?
¿Cuándo entenderán que un problema de la vida real es un problema de la vida real y que la escuela no puede ser una burbuja de mentiras sino la preparación para la vida real?
¿Cuando entenderán que a nuestro médico no hay que pedirle que haya aprobado medicina sino que sepa medicina? ¿O, tal vez, estaría bien que nos dijese ... "tío, cambia de enfermedad por otra más fácil que esa es muy difícil y no se que decirte"?
¡Ah, no, si esto, tal vez lo entiendan!

El entrenador Graham me exigía muchísimo. Recuerdo un entrenamiento en particular. "Lo estás haciendo todo mal, Paush. ¡Retrocede!¡Repítelo otra vez!" Intenté hacer lo que me pedía. No bastó. "¡Me debes una, Paush! Después del entrenamiento te quedarás a hacer flexiones".
Cuando por fin me dieron permiso para marcharme, uno de sus ayudantes se acercó a consolarme.
- El entrenador Graham ha sido muy duro contigo, ¿verdad? Apenas logré musitar un sí.
- Eso es bueno - me aseguró el ayudante-. Cuando la cagas y nadie te dice nada es porque te consideran un caso perdido.
Es una lección que he tenido presente toda la vida. Cuando ves que estás haciendo algo mal y nadie se molesta en decírtelo, tienes un problema. Tal vez no quieras escucharles, pero a menudo tus críticos son los que están diciendo que todavía te quieren, que se preocupan por ti y desean que mejores.
Hoy en día se habla mucho de fomentar la autoestima de los niños. No es algo que pueda dárseles, tienen que construírsela ellos mismos. El entrenador Graham no trabajaba el tema de los mimos. ¿Autoestima? El hombre sabía que sólo hay un modo de enseñarle a los niños a desarrollarla: les das algo que no saben hacer, trabajan duro hasta que aprenden a hacerlo y luego te limitas a repetir el mismo proceso.
Cuando el entrenador Graham se hizo cargo de mí, yo era un niño debilucho sin ninguna habilidad especial, fuerza ni preparación física. Pero me ayudó a comprender que si trabajaba suficientemente, con el tiempo sería capaz de hacer cosas que entonces me parecían imposibles. [...]
Soy consciente de que, en estos tiempos, a un hombre como el entrenador Graham podrían expulsarlo de una liga juvenil. Resultaría demasido duro.
[...]

La última lección.  -Randy Paush con Jeffrey Zaslow -