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Las reglas en Matemáticas


"Las reglas" que aplicamos sistemáticamente en las matemáticas escolares son, casi siempre, deducciones sencillas de razonamientos poco complejos; han sido el resultado del estudio de situaciones; han llegado haciendo matemáticas. No son meros algoritmos de cálculo salidos de la nada..

Dice  Ian Steward en su libro Cartas a una joven matemática :
" Los matemáticos no pasan la mayor parte del tiempo haciendo cálculos numéricos, incluso aunque los cálculos sean a veces esenciales para avanzar. No se dedican a machacar fórmulas simbólicas, aunque las fórmulas pueden ser imprescindibles. Las matemáticas escolares que te están enseñando son principalmente algunos trucos básicos del oficio y la forma de usarlos en contextos muy simples. Si estuviésemos hablando de carpintería, es como aprender a utilizar un martillo para clavar un clavo, o a serrar una pieza de madera. Nunca verás un torno o una taladradora eléctrica ni aprenderás a construir un silla, ni muchos menos a diseñar y construir un mueble.
No es que un martillo y una sierra no sean útiles. No puedes hacer una silla si no sabes cortar la madera con el tamaño correcto. Pero no deberías suponer que puesto que eso es todo lo que has hecho en la escuela, eso es todo lo que hacen los carpinteros.
[...]
Las escuelas [...] están tan preocupadas por enseña a sumar que apenas preparan a los alumnos para responder (o incluso plantear) la pregunta mucho más difícil e interesante: ¿qué son las matemáticas?
[...]
 Cuando discuten dos matemáticos - y lo hacen, a menudo de un modo muy apasionado y agresivo -, de repente uno se detiene y dice: 'Lo siento, tienes toda la razón, ahora veo mi error'. Y se irán y comerán juntos, como grandes amigos"

La mayor parte de los alumnos no se convertirán en matemáticos ni en carpinteros pero, si las habilidades básicas que aprenden las entienden, les pueden ser de mucha utilidad en su vida posterior.
El razonamiento lógico y la argumentación fundamentada siempre están por encima de la obstinada memoria

  • Si tengo un polinomio cualquiera  con coeficientes enteros (para simplificar voy a representar uno de grado 2):
    p(x)= A x2 + B x + C

    Me dicen que m es un número entero raíz de dicho polinomio
    p(m)= A m2 + B m + C = 0
    m ( A m + B) + C = 0
    m (A m + B) = -C

    Por tanto, C es múltiplo de m, o lo que es lo mismo:

  • La raíz, m ,tiene que dividir al término independiente del polinomio C

Cuando entiendo lo que acabo de exponer es muy fácil concluir, si la necesito, la regla para buscar raíces enteras de un polinomio; es muy fácil reconstruir, si la he olvidado, la regla para buscar raíces enteras de un polinomio; es muy fácil entender, por qué es así, la regla para buscar raíces enteras de un polinomio.

Cuando sólo te aprendes "la regla para encontrar las raíces enteras de un polinomio" sin que sea el resultado de tu reflexión, ... ¿Quién te salvará de hacer cosas que no entiendes? ¿Quién te impedirá agarrarte a tu memoria y discutir y discutir sin entender y por tanto sin poder decir ... "lo siento, tienes toda razón, ahora veo mi error"?