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Ejercicios de Exponenciales y Logaritmos

Os coloco aquí dos hojas de ejercicios de ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicas.
 En una de las hojas hay 3 ó 4 ejercicios marcados con un (*). No lo están por su especial dificultad sino por su interés en observar cosas "elementales" de la resolución; alguno de ellos, simplemente porque aparece una ecuación de segundo grado que, aplicando cosas que ya has aprendido y usado hasta la saciedad, puedes hacer los cálculos de manera elegante y sin calculadora.


Las reglas en Matemáticas


"Las reglas" que aplicamos sistemáticamente en las matemáticas escolares son, casi siempre, deducciones sencillas de razonamientos poco complejos; han sido el resultado del estudio de situaciones; han llegado haciendo matemáticas. No son meros algoritmos de cálculo salidos de la nada..

Dice  Ian Steward en su libro Cartas a una joven matemática :
" Los matemáticos no pasan la mayor parte del tiempo haciendo cálculos numéricos, incluso aunque los cálculos sean a veces esenciales para avanzar. No se dedican a machacar fórmulas simbólicas, aunque las fórmulas pueden ser imprescindibles. Las matemáticas escolares que te están enseñando son principalmente algunos trucos básicos del oficio y la forma de usarlos en contextos muy simples. Si estuviésemos hablando de carpintería, es como aprender a utilizar un martillo para clavar un clavo, o a serrar una pieza de madera. Nunca verás un torno o una taladradora eléctrica ni aprenderás a construir un silla, ni muchos menos a diseñar y construir un mueble.
No es que un martillo y una sierra no sean útiles. No puedes hacer una silla si no sabes cortar la madera con el tamaño correcto. Pero no deberías suponer que puesto que eso es todo lo que has hecho en la escuela, eso es todo lo que hacen los carpinteros.
[...]
Las escuelas [...] están tan preocupadas por enseña a sumar que apenas preparan a los alumnos para responder (o incluso plantear) la pregunta mucho más difícil e interesante: ¿qué son las matemáticas?
[...]
 Cuando discuten dos matemáticos - y lo hacen, a menudo de un modo muy apasionado y agresivo -, de repente uno se detiene y dice: 'Lo siento, tienes toda la razón, ahora veo mi error'. Y se irán y comerán juntos, como grandes amigos"

La mayor parte de los alumnos no se convertirán en matemáticos ni en carpinteros pero, si las habilidades básicas que aprenden las entienden, les pueden ser de mucha utilidad en su vida posterior.
El razonamiento lógico y la argumentación fundamentada siempre están por encima de la obstinada memoria

  • Si tengo un polinomio cualquiera  con coeficientes enteros (para simplificar voy a representar uno de grado 2):
    p(x)= A x2 + B x + C

    Me dicen que m es un número entero raíz de dicho polinomio
    p(m)= A m2 + B m + C = 0
    m ( A m + B) + C = 0
    m (A m + B) = -C

    Por tanto, C es múltiplo de m, o lo que es lo mismo:

  • La raíz, m ,tiene que dividir al término independiente del polinomio C

Cuando entiendo lo que acabo de exponer es muy fácil concluir, si la necesito, la regla para buscar raíces enteras de un polinomio; es muy fácil reconstruir, si la he olvidado, la regla para buscar raíces enteras de un polinomio; es muy fácil entender, por qué es así, la regla para buscar raíces enteras de un polinomio.

Cuando sólo te aprendes "la regla para encontrar las raíces enteras de un polinomio" sin que sea el resultado de tu reflexión, ... ¿Quién te salvará de hacer cosas que no entiendes? ¿Quién te impedirá agarrarte a tu memoria y discutir y discutir sin entender y por tanto sin poder decir ... "lo siento, tienes toda razón, ahora veo mi error"?

Las mentiras con los números (Capítulo 1)

Si lees hasta el final esta entrada verás que, además de asombrate de falacias numéricas, podemos agradecer los esfuerzos de mucha gente e incluso, por increible que te parezca, podrás concluir que, aunque no quieras verlo, el hecho de que te comportarse como un cerdo le afecta a otras personas


Siempre estamos a tiempo para hacer magia, engañar a incautos o probar si realmente sabemos hacer "cuentas" lo suficientemente bien como para que no nos den "cero por 1".
Así que aquí van las primeras falacias con igualdades alucinantes.
Muchas de las que os colocaré en este blog, aunque no todas, pertenecen al Calendario Matemático de SM del curso 2008-2009 , mes de Mayo de 2009 , mes elaborado por el Departamento de Matemáticas del IES Leonardo Da Vinci de Albacete.
Por cierto, esto me hace recordar que, en el Calendario Matemático de SM, de este curso 2010-2011 , el mes de Marzo de 2011, ha sido elaborado por mi compañero y profesor de nuestro centro Javier Gallarreta Espinosa (sirva esta entrada también como reconocimiento a su tarea y, fundamentalmente, como premio a su gusto por las matemáticas).

Pero vayamos a lo nuestro:

  • Empezando con algo ... fácil, fácil, fácil ....¿Dónde está la falacia?
  • Ahora, igual pero un poco más abstracto:
  • Bueno, si con las letras no te entiendes mucho, volvamos a los números y metamos las letras suavemente:
  • Esta podía ser una pregunta de nuestro examen de logaritmos así que ...¿Dónde está la falacia?:
  • Y tal y como os he insistido en clase ..."cuidadin con esas mentiras en las fracciones algebraicas porque no es x todo lo que reluce:

Pensemos, que es gratis y es bueno para mantener a raya el Alzheimer que, como sabéis, es una enfermedad neurodegenerativa llamada así como homenaje a la primera persona que identificó por primera vez sus síntomas, el psiquiatra y neurólogo aleman Alois Alzheimer.
Aunque, que conste, que el señor no inventó la enfermedad . Lo que quiere decir que él no es en modo alguno su causante y que, aunque no la hubiera identificado, seguiría existiendo.

Y digo esto último, "que nunca doy puntada sin hilo", para abundar en el hecho de que, sólo cuando te hacen recoger los papeles del suelo de tu aula o de los pasillos te das cuenta que "los demás" son unos "cerdos"; pero que, "los demás" y "tú mismo" se comportan como tal aunque no tengan que recogerlos. Lo triste es que no te das cuenta hasta que te afecta en carne propia.

Nuestros primeros exámenes

La primera hora de la verdad o, tal vez, de la mentira, ha llegado.
Un examen que demostrará no sabemos qué a no sabemos quien. Lo importante es que te demuestre a ti lo que realmente has aprendido y lo que realmente sabes.

Aquí os coloco dos exámenes sobre los mismos conceptos aunque uno de ellos lo hemos hecho en 4º de la ESO y otro en 1º de Bachillerato:

Software para Matemáticas y algunas reflexiones

Quiero que esta entrada del blog sirva, fundamentalmente para que localicéis dos programas de mucho interés para el estudio y, sobre todo, el aprendizaje de las Matemáticas:



Maxima
Os recomiendo que los descarguéis y los instaléis en vuestro ordenador. Nosotros los usaremos de vez en cuando en clase para ilustrar las explicaciones. Con ambos programas tenemos un apoyo muy ilustrativo para todos los temas de este curso.

Os remito también a una dirección web en la que podéis trabajar on-line:

http://www.wolframalfa.com



Además, si queréis aproximaros a lo que yo opino sobre lo que es importante aprender, os recomiendo leer la introducción del Manual de Maxima y wxMaxima de José Antonio Vallejo Rodríguez haciendo una reflexión sobre "La enseñanza de las Matemáticas y el uso de programas de cálculo simbólico".
En él podréis leer cosas como estas:
  • La mayor parte del análisis de procesos en la empresa, es demasiado voluminoso y complejo como para que se pueda hacer "a mano". El uso de simuladores de flujo de datos, de paquetes de análisis de datos estadísticos, de modelos predictivos de valores bursátiles, etc., es algo cotidiano en cualquier empresa incluso de mediano tamaño, y lo que se pide a los profesionales de hoy no es que al acabar sus estudios universitarios ya tengan un dominio completo de estas herramientas, sino que estén capacitados para comprenderlas y utilizarlas.
  • Tradicionalmente, la enseñanza de las matemáticas se ha dividido en las clases teóricas y las clases prácticas, aún cuando en estas últimas lo que se resolvían eran problemas académicos de escaso interés práctico.
  • [...] es frecuente en nuestras universidades encontrar profesores que se empeñan en hacer de los estudiantes clones de aquel Ireneo Funes "el memorioso" de quien nos hablara Borges. Es comprensible que alguno de estos profesores, educado en la más estricta ideología medieval, quiera propagarla y mantenerla a toda costa, pero las necesidades de nuestros estudiantes hoy son otras bien distintas.
  • [...]Y las matrices que uno se encuentra cuando trabaja como matemático nunca son matrices reales 3×3. Esas sólo se ven en los libros. Un Senior Network Analyst, por ejemplo, al estudiar la estructura de las interconexiones en una LAN de mediano tamaño se puede encontrar una matriz de incidencia 1000 × 1000 fácilmente.

Aprendiendo con mis alumnos

Hace unos días comentábamos en clase la entrada de este blog:
En ella se hace referencia a la noticia original en la que aparece la frase:

"[...]dijo Jane Wess, curadora de matemáticas del Museo de Ciencias de Londres"

Uno de mis alumnos me preguntó, ¿qué significa curadora?
Cuando lo leí le comenté que no lo sabía y que me daba la impresión que era un error de taducción o una taducción literal del inglés pero que lo dejábamos como tarea para que lo investigaran.
Es verdad que ninguno me ha vuelto a decir nada de aquello. Estoy seguro que nadie lo anotó ni lo ha mirado. ¡No es extaño teniendo en cuenta que, además, estamos en clase de matematicas y esto parece de lengua! ¡Hasta a mi se me había olvidado aunque parece que algo me quedó en el subconsciente!
Hoy he empezado un nuevo libro titulado  La Hermandad Invisible de Kurt Aust y en él he leído, en la página 7 u 8, al principio del libro, donde el autor expresa algunos agradecimientos a personas que de uno u otro modo le ayudaron:

"A Adam J. Perkins, Curator of scientific manuscrits de la Cambridge University Library, que hizo lo posible por brindarme la oportunidad de hojear uno de los libros de notas científicos originales de Newton (contenía anotaciones preliminares sobre los principios de la fuerza de gravedad); fue un instante casi sacro para mí."

Y aquí me aparece "Curator" como palabra en inglés,  cuyo significado he buscado y he encontrado lo siguiente:

Curator: A keeper or custodian of a museum or other collection.

¡Qué maravilla! Un alumno me hizo detenerme en un detalle que me ha servido para aprender algo interesante.
Además esto me sirve para recomendaros un nuevo libro.

Un bonito examen ...

Siempre me pregunto e intento que mis alumnos se pregunten para qué sirve lo que les enseñamos en la asignatura de Matemáticas.
A veces es muy duro entrar a clase y ver una pizarra llena de símbolos y fórmulas que han llenado los profesores de Física, Química , Tecnolgía, ... y observar que nosostros, los que tendríamos que dar esas herramientas de cálculo, no hemos llegado ni por asomo a ellas; que nosotros, los que deberíamos enseñarles los fundamentos de cálculo, les estamos adiestrando en herramientas mucho más elementales y que no entienden o domina; que nosotros, los "cocos de Matemáticas" estamos jugando con cuestiones más sencillas y elementales que las que usan en las demás asignaturas.
En esos momento uno se pregunta cómo podemos hacer tanto el idiota en nuestro sistema educativo.

Yo seguiré con mi mundo aunque no dejaré de sentir zozobra en cada una de estas ocasiones. Yo seguiré haciendo el tonto pero, lo que tengo claro es que, lo que yo les explico debo intentar que lo utilicen y lo entiendan, que sean capaces de leer información científica en cualquier lugar y comprenderla, usar las matemáticas que les doy para algo. Por eso, este enlace que os presento me lleva a lo que me gustaría que fuera un exámen de matemáticas de este primer tema en el que hablamos de Errores (un curso más - como si con los que nuestro sistema tiene no fuera suficiente-), de Notación Científica (un curso más) y de Logaritmos (quién sabe para qué):

Matemáticas y Narrativa

Desde hace unos años, la Real Sociedad Matemática Española y Anaya , convocan un concurso de relatos cortos.
Si te gusta escribir, anímate, pregunta a tu profesor de Matemáticas.


Por si te sirve de ayuda, para que veas que no se trata de escribir textos de matemáticas sino literatura que haga guiños a las matemáticas, Anaya publicó el libro Ensoñaciones desde mi pupitre con los 18 cuentos seleccionados de la edición de 2008.

Hoy he llamado idiotas a mis alumnos

No lo he podido evitar...
Hace no muchos años que aprendí lo que significaba la palabra idiota. Un profesor de Lengua del IES Valle del Oja de Santo Domingo de la Calzada comentaba en la sala de profesores que, a veces, llamaba idiotas a sus alumnos. Pero idiotas, no como insulto, sino como un calificativo.

Idiota:  Corto de entendimiento. Que carece de toda instrucción.

Pero hoy intentaba explicar a mis alumnos lo que es un maestro ó profesor; quizá debería decir, lo que tendría que ser. Esta frase de una joven maestra con ansias de saber y aprender más para poder enseñar mejor, lo explica con mucha claridad:

"A veces ardo en deseos de poder estudiar mejor, de una manera diferente; de tener por guía, además de los libros, a un profesor y poder compartir las dificultades con los otros alumnos que las sufren, [...]"
La incógnita de Newton - Catherine Shaw


En uno de mis cursos he intentado leerles esta frase y, no se han molestado en escuchar. ¡Más o menos lo que siempre hace un alumno en clase con las cosas importantes que supone no entran en un examen!
Obviamente les he llamado idiotas. Idiotas por ser como sus padres y sus abuelos. Por ir al colegio  aprobar exámenes y no a aprender y entender lo que estudias. Por no preguntarse para qué sirven las cosas que me explican. Por no intentar entender y sólo preocuparse de lo que van a preguntar en los exámenes.

En otro de los cursos, la anécdota ha sido la que puede probar cualquier profesor en cualquier clase:
- He preguntado quién "no sabía hacer un ejercicio" que habíamos mandado como tarea el día anterior.
- Ni una sola mano se ha levantado de lo que, les he dicho:
 " Deduzco que todos sabéis hacerlo. Por tanto voy a preguntar a cualquiera de vosotros y, si no lo sabe hacer, le pondré un 0. No por no saberlo, he añadido, sino por mentiroso e idiota"
- Pero siendo profesor necesitaba demostrarlo así que les he intentado enseñar algo:
"Voy a repetir la pregunta, he dicho, para que me digáis quién no sabe hacer el ejercicio, porque la tarea de un profesor no es poner ceros al que no sabe sino explicar al que no entiende y, la tarea de un alumno es intentar entender y aprender y utilizar al profesor para ello."
- Todos los alumnos de la clase excepto 3 han levantado la mano. Muchos no entendían el ejerciccio, la mayoría, otros no sabían si lo entendía porque no lo habían intentado. Pero el ejercicio no era sencillo, tal vez hacía falta un profesor para explicárselo a mucha gente. Pero ...

Magia con un poco de álgebra ...

Es fácil saber lo que estás pensando incluso en la distancia.
¿No me crees? ¡Comprobémoslo!

  • Piensa un número:
    • Multiplícalo por 2.
    • Sumale 4
    • Multiplícalo por 5
    • Restale 2
    • Divídelo por 2
    • Restale 9
    • Divídelo por 5
    • ... Te lo dije. ¡Sé lo que estabas pensando!

  • Ahora te voy a adivinar el mes de tu nacimiento y los años que tienes ...:
    • Piensa en el número del mes que naciste
    • Multiplícalo por 2.
    • Súmale 5
    • Multiplícalo por 50
    • Súmale la edad que tienes actualmente
    • Réstale 250.
    • Mira detalladamente el número que has obtenido y separa un poco la cifra de la izquierda
    • ... Te lo dije. ¡Ahí tienes tu mes de nacimiento y tu edad!

      ¡Mucho cuidado si pretendes adivinar estas cosas a tu bisabuela. En ocasiones tiene efectos secundarios!

Hoy estoy contento ...

No, no sólo contento, exultante. Un alumno ha leído algo de este blog. Quizá alguno más lo haya hecho, pero uno me ha preguntado en clase por algo que había leído aquí.
¡Qué maravilla!
Porque ... ¿de qué sirve un profesor si lo que cuenta no motiva en nada a ninguno de sus alumnos?
Así que, uno de los problemas que nuestro "filósofo" Thales de Mileto había planteado sobre una corona circular resulta que:

Para visualizar el applet necesitas tener instalado el software de Java y permitir que tu navegador ejecute applets
Si haces doble click sobre el applet se abrirá una ventana mayor con el fichero de geogebra para jugar con él más fácilmente

Ahora entiendo a Sócrates ...

Quizá los filósofos no sea tan parecidos a un tertuliano de radio ... Hoy he leído sobre Sócrates en "El mundo de Sofía" y, resulta que me gusta, que yo también me siento filósofo si eso es ser un filósofo.
El problema está en nosostros, en nosostros mismos. Sólo si comprendes que hay muchas cosas que no sabes ni entiendes puedes buscarlas y aprender. Sólo si sientes la la verdadera necesidad de conocer buscas y entiendes.
Así que aquí va una colección de reflexiones a las que encuentro mucho parecido:
  • "El mundo de Sofía".
  • "Lo más lejos a tu lado" de Fito y los Fitipaldis 
  • "Hypatia, la mujer que amó la ciencia" de Pedro Gálvez
  • "El lamento de un matemático" de Paul Lockhart 
El mundo de Sofía ...
[...] De modo que no enseñaba como cualquier maestro de escuela. No, no, él (Sócrates) conversaba.
Está claro que no se habría convertido en un famoso filósofo si sólo hubiera escuchado a los demás. Y tampoco le habrían condenado a muerte, claro está. Pero, sobre todo, al principio solía simplemente hacer preguntas, dando a entender que no sabía nada. En el transcurso de la conversación, solía conseguir que su interlocutor viera los fallos de su propio razonamiento.
[...]
Se dice que la madre de Sócrates era comadrona, y Sócrates comparaba su propia actividad con la del «arte de parir» de la comadrona. No es la comadrona la que pare al niño. Simplemente está presente para ayudar durante el parto. Así, Sócrates consideraba su misión ayudar a las per¬sonas a «parir» la debida comprensión. Porque el verdadero conocimiento tiene que salir del interior de cada uno.
[...]
Los sofistas cobraban por sus explicaciones más o menos sutiles, y esos sofistas han ido apareciendo y desapareciendo a través de toda la historia. Me refiero a todos esos maestros de escuela y sabelotodos que, o están muy contentos con lo poco que saben, o pre¬sumen de saber un montón de cosas de las que en realidad no tienen ni idea. Seguramente habrás conocido a algunos de esos sofistas en tu corta vida. Un verdadero filoosfo, Sofía, es algo muy distinto, más bien lo contrario. Un filósofo sabe que en realidad sabe muy poco, y, precisamente por eso, intenta una y otra vez conseguir verdaderos conocimientos.
Sócrates fue un ser asi, un ser raro. Se daba cuenta de que no sabía nada de la vida ni del mundo, o más que eso: le molestaba seriamente saber tan poco.
Un filósofo es, pues, una persona que reconoce que hay un montón de cosas que no entiende. Y eso le molesta. De esa manera es, al fin y al cabo, más sabio que todos aquellos que presumen de saber cosas de las que no saben nada. «La más sabía es la que sabe lo que no sabe», dije. y Sócrates dijo que sólo sabía una cosa: que no sabía nada.
[...]
La madre estaba atónita. Al final dijo:
- ¿Es algo que has aprendido en el instituto?
Sofía nego enérgicamente con la cabeza.
-Allí no aprendemos nada...
La gran diferencia entre un maestro de escuela y un auténtico filósofo es que el maestro cree que sabe un montón e intenta obligar a los alumnos a aprender. Un filósofo intenta averiguar las cosas junto con los alumnos.

Lo más lejos a tu lado
Ahora si, parece que ya empiezo a entender
Las cosas importantes aquí
Son las que están detrás de la piel
Y todo lo demás….
empieza donde acaban mis pies
después de mucho tiempo aprendí
que hay cosas que mejor no aprender.

El colegio poco me enseño…..si es por esos libros nunca aprendo a:

Coger el cielo con las manos
a Reír y a llorar lo que te canto
a Coser mi alma rota
a Perder el miedo a quedar como un idiota
y a empezar la casa por el tejado
a poder dormir cuando tú no estás a mi lado

menos mal que fui un poco granuja
todo lo que se me lo enseñó una bruja

Ruinas…. ¿no ves que por dentro estoy en ruinas?
Mi cigarro va quemando el tiempo,
tiempo que se convirtió en cenizas

Raro!! …. no digo diferente digo raro!!
ya no sé si el mundo está al revés
o soy yo el que está cabeza abajo

El colegio poco me enseñó….
si es por el maestro nunca aprendo a:
coger el cielo con las manos…..

Hypatia, la mujer que amó la ciencia
[...] Pero un buen día tuvo la idea de empezar a enseñarle matemáticas. En realidad la idea no había sido de él, sino de su maestro, de Pappo (Pappus), quien le había dicho que si quería que su hija supiese matemáticas, ya podía empezar a enseñárselas, pues jamás las entendería en la escuela entre tanto asno que se hacía pasar por maestro.

El lamento de un matemático
El problema cultural es un monstruo que se perpetúa a sí mismo: los estudiantes aprenden matemáticas de sus profesores, que a su vez las aprenden de otros profesores, de modo que esta falta de entendimiento y gusto por las matemáticas en nuestra cultura se replica indefinidamente. Peor aún, estas “pseudo-matemáticas”, este énfasis en la manipulación precisa pero vacua de símbolos, crea su propio conjunto de valores culturales. Aquellos que han conseguido dominarlas obtienen una buena dosis de autoestima de su éxito. Lo último que desearían oír es que las matemáticas son creatividad y sensibilidad estética. Más de un estudiante universitario ha sentido la frustración de descubrir, después de una década de creer que eran “buenos en matemáticas” por lo que les decían sus profesores, que no tiene de hecho talento matemático alguno y que en lo que destaca realmente es en seguir instrucciones. Las matemáticas no consisten en seguir instrucciones, sino en crear nuevas direcciones qué seguir.
Ni siquiera he mencionado hasta ahora la falta de crítica matemática en las escuelas. En ningún momento se revela a los estudiantes el secreto de que las matemáticas, como la literatura, es creada por personas para su propio entretenimiento; que el trabajo de los matemáticos está sujeto a una apreciación crítica; que uno puede desarrollar y tener gusto matemático. Un poco de matemáticas es como un poema, y como con un poema podemos preguntarnos si satisface nuestros criterios estéticos: ¿es este argumento convincente? ¿Tiene sentido? ¿Es simple y elegante? ¿Acerca o no al quid de la cuestión? Por supuesto que no se hace crítica alguna en las escuelas —¡no se hace arte alguno que pueda criticarse!

El mundo de Sofía- Reflexión 1 -

La profesora de filosofía de mis alumnos de 1º de Bachillerato me ha comentado que les piden leer "El mundo de Sofía" de noruego Jostein Gaarder .
He comenzado a leerlo y me he remontado a los años en que yo estudié la filosofía de 3º de BUP y la historia de la filosofía de COU. Sus impactos en mí, como en la mayor parte de los adolescentes, el hecho de que la filosofía de 3º de BUP me llevó a "perder la fe en la que me habían enseñado a creer", ...
Pero también a posiciones muy críticas con los filósofos y, sobretodo, con los profesores de filosofía. De hecho, ahora pienso que "un filósofo es alguien mucho más parecido a un tertuliano de radio que a un científico" (sin ningún ánimo de ofender y sí como instrumento de debate del que tan profusa es la filosofía). Las matemáticas son distintas; las matemáticas tienen un principio fundamental,  la demostración. (Pero no la demostracion filosófica, política o judicial).
Sólo he leído unas 50 páginas y he concluido algunas cosas, como filósofo:
  • Es un libro que puede venir muy bien para estudiar la historia de la filosofía. Este hecho me lo ha corroborado uno de mis hijos que lo ha leído y al que se lo recomendó una amiga que le dijo lo mismo.
  • Recordar algo de la historia de la filosofía griega me ha llevado inmediatamente a una lectura fabulosa que les dí a mis alumnos de 3º de la ESO hace unos años en la que podemos encontrar dos elementos diferentes pero altamente instructivos ambos como elementos de debate y formativos:
    1. Una inmensa ironía del autor en la que deja entrever la diferencia que él encuentra entre un filósofo y un científico. (¿Tales de Mileto era filósofo ó matemático?¿Es un filósofo un científico?¿Es un científico un filósofo?)
    2. Un problema matemático muy interesante que nos podría proporcionar materia para 4 ó 5 clases de matemáticas completas y que cualquier alumno de 3º ó 4º de la ESO tiene herramientas para solucionar, cuanto más uno de 1º de Bachillerato.

Ejercicio:
Os dejo aquí el documento al que me refiero con el "cuento-problema-reflexión" . Como siempre, aparece la referencia de dónde he sacado el cuento aunque el documento incluye alguna pequeña aportación más:

¿Para qué sirven los logaritmos?

Uno de los conceptos más difíciles de entender en las matemáticas estudiantiles actuales es el de logaritmo. Esta dificultad se acrecienta cuando lo único que enseñamos a nuestros alumnos de los logaritmos es "pura algoritmia" de cáculo sin mucha noción de comprensión.
Por otro lado, el avance para el cálculo y para la ciencia que supuso "la estrategia de los logaritmos", ha dejado de tener sentido desde el advenimiento de las máquinas que calculan.

Pincha en la imagen y mira un
libro real
 de tablas de logaritmos

Porque:
  • Los logaritmos se desarrollaron como una herramienta para hacer de forma más eficiente las multiplicaciones, las divisiones y la extracción de radicales cuando nos enfrentábamos a números muy grandes o, números con muchos decimales.
  • "El logaritmo" transforma un producto en una suma , un cociente en una resta, una potencia en una multiplicación sencilla y una raíz en una división sencilla.
  • Se usaban tablas que permitía obtener el logaritmo de cada número con una buena aproximación y, el proceso inverso, es decir, sabiendo el logaritmo, determinar el número al que le correspondía.
Cualquier estudiante de hace años que quisiese hacer una multiplicación como esta ...
0'02345678 x 1'67345678
conocía muchas cosas que, tal vez los estudiantes actuales conocen pero que entonces eran de una necesidad imperiosa para hacer "de manera eficiente" la operación y que al estudiante actual no le preocupa y jamás reflexionará sobre ella porque tiene una calculadora y, su profesor tampoco le exijirá que reflexione sobre ello. Algunas de estas reflexiones podrían ser:
  1. Puedo hacer las multiplicación sin decimales:
     0'00000012 · 0'00000025 =
    12 · 10-8 · 25 · 10-8=
    12 · 25 · 10-8 · 10-8=
    12 · 25 · 10-16
    En este caso preparado, la operación no necesita calculadora y, cuando lo entiendo y lo manejo con soltura, tardo menos en hacer esto que teclear en la máquina.
  2. Las tablas de logaritmos (en base 10) que se usaban no incluían todos los números del mundo mundial, porque si tenían el logaritmo de 12 y el logaritmo de 25 los antiguos estudiantes sabían perfectamente que:
    log(0'0000012) = log(12 · 10-8)=
    log(12) · log(10-8) = log(12) - 8
  3. Como log( a · b) = log(a) + log(b)
    log(12 · 25 · 10-16) = log(12)+log(25)+(-16)
  4. Ahora habría que buscar en nuestro libro de las tablas de logaritmos log(12) , log(25) y sumar para obtener:
    2'47712125
  5. Por último, buscando en nuestro libro de tablas la inversa del logaritmo, llamado antilogaritmo aunque en realidad es una exponencial de base 10:
    102'47712125
    Considerando que aquí todo alumno tenía que tener claro el concepto de interpolación, que lo más probable es que en nuestras tablas no apareciese el número 247712125 (observa que está sin decimales) sino que puede que estuviera 24771 y 24772, llegaríamos a la conclusión de que:
    102'47712125
    = 300 aproximadamente.
  6. Por último, recomponiendo todo, concluimos:
     0'0000012 · 0'000025 =
    12 · 10-8 · 25 · 10-8=
    12 · 25 · 10-8 · 10-8=
    12 · 25 · 10-16=
    10(log(12 · 25)-16=
    300 · 10-16=
    3 · 10-14
  7. Pero lo más importante es que todo estudiante de hace tiempo sabía que esta multiplicación debía hacerla empezando por el punto 1 anterior y, después, se hace mucho antes y de forma más precisa multiplicando a mano 12 · 25 = 300. Y cualquier estudiante de hoy, sin calculadora, se vería en un verdadero aprieto para hacer estos cálculos si no está estudiando en ese momento el tema que hable precisamente de estas cosas que, seguro que ya no se acuerda de cuál era y de cuándo fue.

Para una explicación más detallada de cómo y para qué nacieron los logaritmos, te aconsejo que leas las 13 primeras páginas del libro que aparece arriba. No tienes mas que pinchar sobre la imagen y te llevará al libro completo. Incluso puedes descargarlo a tu ordendor en PDF.
En esas 13 páginas te ilustra el proceso de cálculo y te permitirá hacer reflexiones sobre las propiedades de los logaritmos así como probarte a tí mismo en cuanto a "comprensión lectora" con un concepto no muy trivial.

La utilidad fundamental de los logaritmos en aplicaciones habituales de tu entorno se resumen en un principo: manejar escalas logarítmicas, es decir, reducir a sumas los productos o a productos las potencias.

¿Pero hay algo tan pequeño fuera del aula de matemáticas?

Según cuenta la prensa el 1 de octubre de 2010, se había detectado un posible caso de doping en el pasado Tour de Fancia. En la orina de Alberto Contador había Clembuterol.

El Clembuterol se usa como medicamento para descongestionar las vías respiratorias y tiene efectos broncodilatadores. Pero los estudios médicos observaron que, como producía también un aumento de la masa muscular en detrimento de la grasa del organismo.

Pero lo curioso del caso es la cantidad encontrada. Según el Diario La Rioja :  "La concentración que se encontró en el laboratorio se estimó en 50 picogramos (0,000 000 000 05 gramos por mililitro), es decir cuatrocientas veces menos que la concentración que los laboratorios antidopaje acreditados por la AMA pueden detectar."

De hecho, a día de hoy sólo hay cuatro laboratorios en el mundo que disponen de la tecnología suficiente como para detectar una catidad tan pequeña.

Ejercicio: (Para operar en notación científica)
  1. ¿Por qué crees que la prensa no ha colocado el número en notación científica o se ha limitado a decir que son 50 picogramos?
  2. Qué significa el prefijo del sistema métrico decimal pico .
  3. ¿Cuál es la cantidad mínima de esta sustancia que detectan los laboratorios habituales acreditados por la AMA (Agencia Mundial Antidopaje)?
  4. ¿Qué cantidad de clembuterol habría en una muestra de orina que tuviera esa concentración de clembuterol si suponemos que la muestra fue de 300 cm3 y que la densidad de la orina era de 1020 Kg/m3?
  5. El tamaño de la muestra de orina y su densidad no son datos arbitarios. Podías buscar información para comprobar que es así y hacer una relexión sobre ello para tus clases de Biología y/o Física y Química.