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Princesas abejas y matemáticas

Hoy quiero presentaros este libro pero, como casi siempre, con algo más que comentar:

Me canso de contar a mis alumnos de cualquier nivel que la parábola es una curva "muy complicada". La mayor parte de los estudiantes no saben distinguir entre una parábola y miles de "curvas similares". Y en muchas ocasiones les hablo que, durante mucho tiempo, la catenaria (Curva que formaría un cable flexible que cuelga de dos puntos) se pensó que era parábola porque son realmente difíciles de distinguir.

David Martín de Diego, en este fantástico libro, no sólo nos enseña cosas muy interesantes de matemáticas sino que nos da una lección de Historia y, tal vez, de lo que también debería ser la Historia si los hombres de Historia entendiesen de Ciencia. Hasta la solapa de su libro nos da una lección magistral recordándonos una frase insustituible:
 "de qué sirve la ciencia si no hay entendimiento"

Y aquí tienes gráficamente la diferencia entre una catenaria y una parábola. Mueve el deslizable "a" y compara



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Gaussianos, ¿qué si no?

Esta semana asistí a una charla de divulgación matemática impartida por el autor del blog Gaussianos.
Al que le gusten las mates, la ciencia y la divulgación le aconsejo que lo visite. Muchas de las entradas tal vez no las entienda si hablan de cosas sofisticadas pero, muchísimas otras, seguro que sí.


Pero a lo que vamos. Una de las entradas de Gaussianos que nos contó en la charla es esa en la que Homer Simpson demuestra que el último teorema de Fermat es falso:

No soy nada original con esto. Miles de páginas de Internet reflejan esta anécdota de los Simpson y recuerdan que sus guionistas, al menos algunos de ellos, son gente versada en ciencias, matemáticas y física.
¡Que si, que lo sé, no soy nada original!
Hace no mucho tiempo el padre de un alumno me lo dijo con toda la educación pero con toda la rotundidad del mundo. La esencia de su argumentación aunque no la literalidad de las frases, que no recuerdo totalmente, era más o menos ésta:
"Es usted un profesor sin ideas que se limita a entregarnos una fotocopia de un artículo cualquiera sin comentario ni explicación ninguna. Palabras de otros para expresar ideas de otros"

Para alguien como yo, que se cree Dios y el más listo del mundo, hasta ahí llega mi locura, esto es muy duro. Sin embargo le dije también con educación pero con rotundidad que, otra cosa podría decirme, pero que precisamente, una persona sin ideas no soy. Se lo prometo. Os lo prometo a todos. Puedo tener ideas absurdas, ridículas, equivocadas  o disparatadas, pero no estoy falto de ellas (preguntad a quien me conozca).
No sé si os dais cuenta de la similitud entre Homer Simpson y yo. Ambos parecemos tontos, estúpidos y sin ideas pero, analiza los capítulos y verás que, millones de ideas de sus guionistas, gente de muchas ideas y muy inteligentes, están en Homer y en los personajes de su alrededor. Sus ideas son disparatadas, absurdas, es un hombre sin principios, ridículo, ... pero analízalo con calma y tal vez aprendas mucho de sus ideas.

Fijaos si tengo ideas que, sólo unos días antes de estas dos anécdotas que os he reseñado, charla y entrevista con el padre, les había contado a mis alumnos de bachillerato la anécdota de Homer y el último Teorema de Fermat al hilo de un ejercicio del examen que acababa de poner:
i1313

Pero, la idea original, la mía,  (no significa aquí original la literalidad de la etimología de la palabra; no significa aquí origen; significa algo más modesto pero para mi de tanto valor; aunque millones de personas lo hubiesen pensado antes que yo, yo nunca lo había oido ni visto y se me ocurrió a mí solito; seguro que no al primero, ni al único, pero si ... a mi también) fue la siguiente que es digna de un episodio de Los Simpson:
Te has dado cuenta ¡oh alumno! , ¡oh adulto!, que todo número, lo suficientemente grande es par.

Coge tu calculadora y haz una operación con números grandes para obtener un resultado muy grande.
Si es una calculadora de mano te sugiero algo como esto:  "tantos nueves como te quepan multiplicado por tantos nueves como te quepan", por ejemplo (9999999999 x 9999999999 = ????)
Asómbrate:
   impar x  impar = par
cuando los números son lo suficientemente grandes.

¿Libros infantiles? ¡Ja, ja, ja! Ni por semejanza, ni por Trigonometría

Algunos libros pueden parecer infantiles pero:

  • ¡De los animales grandes y pequeños! 

Nadie "mayor" se acercaría a este libro mas que para regalárselo a un niño ... Pero mejor que el niño no leyese este párrafo y se acercase al "mayor" para pedirle que le explique lo que esto significa:




"[...] También investigué sobre la influencia de la escala en la resistencia de materiales y estructuras. Por ejemplo, comprobé que los huesos de un animal grande deben ser proporcionalmente mucho más grandes que los huelos semejantes de un animal pequeño. Y descubrí que eso sucede porque el peso crece más deprisa que la resistencia de los huesos: un animal dos veces mayor que otro tiene cada hueso dos veces mayor y cuatro veces más resistente, pero el animal será ocho veces más pesado, de ahí la necesidad de tener los huesos proporcionalmente más grandes.
Evidentemente, apliqué este descubrimiento a los cálculos de estructuras metálicas, máquinas y edificios."





Me llamo GALILEO GALILEI.
Guillerme de Almeida (Texto)
Jorge Miguel (Ilustraciones)
Ed. Parramón

Claro, si fuésemos "mayores", tal vez quedaría mejor decir que leemos a Asimov, aunque nos costase entender algo aún más


"Pero nada de eso sería posible, ni por un instante, en virtud de la llamada ley cuadrado-cúbica, expuesta por primera vez por Galileo hace tres centurias y media.
Para explicar del modo más sencillo lo que significa esa ley, partiremos de un cubo de n pulgadas de arista.
El volumen de ese cubo es  n·n·n o sea   n3. Eso quiere decir que un cubo de 1 pulgada de arista tiene un volumen de una pulgada cúbica; uno de 2 pulgadas de arista tiene 8 pulgadas cúbicas de volumen, y uno de 3 pulgadas de arista, 27 pulgadas cúbicas de volumen.
[…]
El volumen crece mucho más de prisa que la superficie[…]
Podemos, pues, enunciar la ley cuadrado-cúbica como sigue. Al crecer un cuerpo tridimensional cualquiera, sin cambiar de forma, su superficie crecerá como el cuadrado de cualquiera de sus líneas, y el volumen como el cubo de la misma. Esto tiene importante relación con la ingeniería estructural de los cuerpos animados e inanimados; pues algunas de sus propiedades dependen del volumen y otras de la superficie. Como las que dependen del volumen crecen más de prisa con el tamaño que las que dependen de la superficie, hay muchas ocasiones en que el tamaño establece diferencias considerables.
[…]
Esto vale para todo el mecanismo sustentador [de un animal]. Cada pulgada cuadrada de sección del fémur tiene que soportar doce veces más peso que de ordinario; cada pulgada cuadrada de sección de músculo tiene que ejercer un tirón doce veces mayor que de ordinario, para que el gigante se ponga en pie, si está sentado.
[…]
Así, pues, los colosos del «Mundo de los gigantes», ¿caerían por tierra y morirían aplastados por su propio peso?"


El electrón es zurdo y otros ensayos científicos  
Isaac Asimov
Ed. Maeva

  • ¡Eso de medir las cosas altas siempre ha sido un problema! 
Éste que os menciono aquí, y que podéis ver también referenciado en el Blog de primer ciclo de la ESO, es interesante hasta para adultos aficionados a aprender la utilidad de las matemáticas...

"[...]
- Abuelo, las montañas más altas de los Alpes y los Apeninos las conozco bien, porque he subido a ambas. Son el Mont Blanc, que mide 4800 metros, y el Corno Grande, que mide 2900 . Está también el Etna, que tiene una altura de 3300 metros, pero que no es del continente...¿Cómo se hace para medir la altura de una montaña? Debe de haber un método muy ingenioso para no tener que perforarla de arriba a abajo...
-¡Cierto! ¡Eso de medir las cosas altas siempre ha sido un problema! Quien conseguía resolverlo conquistaba fama de gran sabiduría. Es especialmente famosa la manera con la que, seis siglos antes de Cristo, el sabio Tales de Mileto, a petición del faraón, midió la altura de la pirámide Keops. Todos esperaban que Tales llevara consigo quién sabe qué complicados artilugios; en cambio, se presentó con un simple bastón. Era un hermoso día de sol, como suelen serlo en Egipto. Tales apoyó el bastón perpendicularmente al suelo y esperó a que la sombra del bastón fuera tan larga como el bastón mismo. <<Medid la sombra de la pirámide>>, dijo a los enviados del faraón.<<En este momento mide lo mismo que la altura de la pirámide.>> Midieron la sombra de la pirámide, añadieron a esa medida la mitad del lado de la base (que comía parte de la sombra) y así supieron por fin la altura del majestuoso monumento.
- ¡Genial! Pero entonces... nosotros también podemos medir las cosas altas, los edificios y las torres sin tener que subirnos encima de ellos.
- Naturalmente, y ni siquiera hace falta esperar a que la sombra del bastón sea tan larga como el bastón. Si es sólo la mitad, también la sombra del objeto que queremos medir será la mitad del objeto; si es un tercio, será igual para la sombra del objeto. La espléndida idea de Tales se basa en una teoría muy importante, que los geómetras griegos conocían bien: la teoría de la semejanza.
[...]
-¡Abuelo, me gusta ese Tales! Pero la altura de las montañas no puede obtenerse con su método. ¡La sombra de una montaña no se puede medir!
- Tienes toda la razón. Para resolver ese problema, además de los triángulos semejantes, es necesario saber algo de trigonometría, esa parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo""

Los Diez Magníficos. Un niño en el mundo de las matemáticas  
Anna Ceralosi
Ed. Maeva

¿De qué es este examen?, me preguntaron


Cada día estoy más convencido ... la inmensa mayoría de las personas nunca entendió las matemáticas. Los polinomios, las ecuaciones, la geometría analítica de la escuela eran montones de fórmulas sin sentido que nunca relacionaron con nada y, aún más triste, nunca se dieron cuenta que eran lo mismo en distintos temas, que nada había que aprender nuevo.
Por supuesto que no hay pedagogo que se precie que las haya entendido nunca pero, eso no es óbice para que opine que cualquiera puede estudiarse el libro y enseñar matemáticas. Podemos ir en una dirección peor de la que hay que ir, pero es difícil.



Exámenes, ¿para demostrar qué?


Llevaba avisando a mis alumnos de 4º de la ESO que el examen no iba a ser un examen estándar. Que hay que pensar. Que Ruffini no es el fin sino un medio y, en muchas ocasiones hasta innecesario. Que lo importante es entender lo que estudian y para qué lo estudian ...

¿De qué me sirve hacer ejercicios de radicales y exámenes de radicales si no se usar los radicales en ningún contexto fuera del propio examen?
¿De qué me sirve hacer ejercicios de aproximación y redondeo y exámenes si no sé interpretar un texto que hable del asunto y utilizar mis conocimientos para entender y aprender sobre algo que leo?

Aquí os dejo el segundo examen que hemos hecho en 4º de la ESO este curso 2011-2012. Posiblemente, una vez más, un desastre.
El otro día me decía un compañero que mis exámenes eran más fáciles que los suyos y, también me decía que le daban envidia. Que cada uno lo interprete como quiera. Yo sé que mis exámenes son más fáciles que los suyos y que buscan que el alumno demuestre que ha entendido y que lo que ha aprendido es capaz de usarlo fuera de la pura repetición. ¡La verdad es que los alumnos piensan que mis exámenes son mucho más difíciles!
En este examen que tenéis aquí, unos cuantos de los alumnos de 4º de la ESO no han entendido el texto de la segunda pregunta ... pero no os preocupéis, hacen Ruffini como autómatas programables, siempre que la raíz del polinomio en cuestión sea un número entero, claro.


Trigonometría y triangulación

Algunas veces, cuando a los profesores de matemáticas nos obligan a buscar una utilidad a las matemáticas que enseñamos en la escuela más allá de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), recurrimos a la Trigonometría.
Es seguro que, ninguno de nosotros ha utilizado nunca la Trigonometría. Sólo algunos pocos "zumbados" nos gusta observar los vértices geodésicos cuando vamos por el monte y por eso hablamos de ellos a nuestros alumnos a pesar de que hoy están "out" (pasados de moda). Quizá en algún caso se nos ocurra relacionar GPS con Triangulación y ahora (en pleno 2011 cuando escribo esta entrada) y por varios años, el sistema europeo Galileo ...
Mucho más difícil es que los conceptos de exactitud y precisión sean usados, de verdad, en un problema de Trigonometría de la escuela.


Pero si alguien quiere aprender mucho sobre todo ello, leer sobre historia de la Revolución francesa y sobre muchas cosas más que han determinado de manera inestimable el desarrollo global del comercio y  la ciencia en el mundo, os recomiendo : El metro del mundo -Denis Guedj- .
En él podéis leer perlas como estás:

"- 'Me dicen, señor Cassini, que vais a volver a medir el meridiano que vuestro padre y vuestros antepasados midieron antes que vos, ¿creéis poder hacerlo mejor que ellos.'
Desconcertado durante un instante por el reproche real, Cassini responde: 'Señor, no me preciaría en absoluto de hacerlo mejor si no tuviese una gran ventaja sobre ellos. Los instrumentos que usaron mi padre y mi abuelo medían los ángulos con una precisión de sólo quince segundos. El señor caballero de Borda, aquí presente', y señaló a Borda, de pie en medio de sus colegas, 'ha inventado uno que que me dará esa medida de los ángulos con precisión de un segundo; y ése será todo mi mérito.' "



" Si se pretende determinar la distancia entre dos puntos en el globo terráqueo bastante alejados entre sí, el método que emplea la agrimensura, poner uno tras otro el patrón de medida, es inaplicable. Amoldándose al relieve, la línea que une esos dos puntos tiene, con toda evidencia, mayor longitud que el arco buscado. ¿Cuánta? Imposible de calcular con precisión. Sin contar con el hecho de que los accidentes del terreno, vías de agua, precipicios, montañas, etc., impiden a menudo extender de forma continua la línea con que se mide.
Es preciso inventar un método que no dependa de la configuración del terreno, un método que proporcione independencia a la medida respecto de las variaciones del terreno. Este método es la triangulación. Inventado por el holandés Willebrord Snellius a comienzos del siglo XVII, revolucionará la medida de los meridianos. En vez de medir lo lineal con lo lineal como se había hecho hasta entonces, medirá, de un modo infinitamente más simple, lo lineal con lo angular.'



Aquí os dejo el primer examen que hemos hecho en 1º de Bachillerato.

aunque, si te parece difícil, haz primero un examen de 2º de la ESO. ¿Qué sentido tienen las cosas si realmente no las entiendes si sabes por qué o para qué?


¿Para qué sirven las matemáticas?. Un ejemplo

Imagina, contaba esta semana a mis alumnos el siguiente dilema:

Si alguien tiene una cierta cantidad de algo que le gusta y le ofrecen duplicar lo que posee o aumentarlo en una unidad, ¿qué debe elegir?.

- Depende, fue la respuesta más extendida.

- Si, depende, pero depende de qué, depende cómo, depende cuándo ...

[...]
El problema principal de Lawrence era su vagancia. Había llegado a la conclusión de que todo era más simple si, como en el caso de la visión de rayos X de Superman, se limitaba a mirar más allá de las distracciones cosméticas y apreciaba el esqueleto matemático subyacente. Una vez que habías conseguido descubrir la matemática de una situación, ya lo sabías todo y la podías manejar para alegría de tu corazón simplemente con un lápiz y una servilleta. 



 Criptomicon. El código Enigma - Neal Stephenson -


Nuestro problema queda tan trivial encontrando las matemáticas que tiene detrás ...:

- Sea  x  la cantidad que tengo de algo que me gusta.
  •  Sólo necesito saber cuándo:
    2x>x+1
    ( Lo cuál queda reducido a solucionar inecuación trivial)
    x>1
  • Y cuándo:
    2x<x+1
    ( Lo cuál queda reducido a solucionar inecuación trivial)
    x<1
  • Y cuándo:
    2x=x+1
    ( Lo cuál queda reducido a solucionar ecuación trivial)
    x=1
- Así que:
  • Si tengo más de una unidad de lo que me gusta, será preferible el doble.
  • Si tengo menos de una unidad de lo que me gusta, incluyo aquí la posibilidad de tener nada ( 0 ) ó incluso tener deudas de lo que me gusta (-3), será mejor que me den una unidad.
  • Si tengo exactamente una unidad de lo que me gusta, será indiferente porque el doble coincidirá con una unidad más.

Mi homenaje a una futura Hipatia

Una vez, no hace mucho tiempo ...

tuve una alumna llamada Elena. Desgraciadamente pasaré a la historia por ser su último profesor de matemáticas. Como dirían mis detractores, después de que yo le diera clase en 1º de Bachillerato, dejó las matemáticas en 2º.
Pero era, y es, una buena alumna. Alquien a quien no dudaría en asignar un alto grado de paideia.
Me he acordado tanto de ella, he sentido muchas veces pena egoista de que personas así tuviesen claro que las Matemáticas no son lo que necesitan para el fin que buscan, pero también me he alegrado de poder disfrutar mientras fueron mis alumnas.
Alguien que es capaz de escribir un hermoso relato y también lo es de entender y reflejar con naturalidad que:
Sif(x)= x Sig(x)= x 2 }{ fg(x)=| x | gf(x)=xx0
Ergo ... la ráiz y el cuadrado no se van



Ayer la encontré por el pasillo y, además de la alegría  de saludarla me asaltó la felicidad tan conocida de su interés por aprender. Me dijo que una amiga le había enseñado ese famoso vídeo que se ha popularizado en internet de la multiplicación de números haciendo rayas y que sentía la curiosidad del ¿por qué? :

Un día pasaré por el departamento para que me lo expliques.
- Encantado de hacerlo, por supuesto.


Así que, a todos os insto a observar que, esta forma de multiplicar se basa en el mismo principio en que se basa nuestro algoritmo de la multiplicación.
-  "Todas las cifras del 321 se van multiplicando ordenadamente por todas las cifras del 123 y, después, ordenadamente, se suman los resultados"
- Pero, ¿no es acaso cierto que, si  3·2=6 , cuando dibujes 3 líneas que se cruzan con otras 2, quedarán exactamente 6 puntos de intersección o corte?

Las mil y un Hipatias

Estoy leyendo ahora "Las mil y una Hipatias" y, siendo un libro de la Colección "La Matemática y sus Personajes", de la editorial Nivola, me he encontrado con la agradable pero extraña sensación de no estar leyendo un libro relacionado con las matemáticas.

Dejemos a un lado mi opinión políticamente incorrecta de que la "discriminación positiva hoy" no es un ejemplo de igualdad entre hombres y mujeres. Admito que esto pueda parecer a algunos/as un síntoma claro de machismo o incluso de misoginia. Pero hasta en esto me he visto gratamente sorprendido por la delicadeza del trato. El libro podría perfectamente haberse titulado "Las mil y una Hipatias, las mil y una maestras, los mil y un maestros". Tiene empero el valor añadido de destacar que, las mil y una maestras, tienen además un mérito añadido tan inmenso, tan difícil de evaluar que lo hace infinitamente más elogiable, porque el contacto de la mujer con la ciencia y la cultura ha sido un camino casi imposible en una historia fijada por los designios de los machos.

Pero destaco, como las autoras destacan, los conceptos que son centrales en el discurso de la obra, los conceptos que se aplican a la figura de Hipatia y que yo hago extensibles a los verdaderos maestros de todos los tiempos (siento que, en este caso, el propio lenguaje pueda inducir a pensar sólo en hombres, cuando no es esa mi intención). A esos mil y un maestros que cada día se levantan por la mañana y se dirigen a sus aulas. A esos mil y un maestros que, no son todos, pero que son muchos. A aquellos que, de verdad, rezuman "Areté y Padeia". A aquellos que, como el propio libro indica, pueden responder a ...


"Miré a Rolf: por fin aparecía Hipatia II. Entendí que ella había sido la maestra de Deianira, quizá todas las veces que la había mencionado se refería a 'la otra' Hipatia, pero por la descripción que hizo yo no hubiera podido diferenciarlas. Era la que enseñaba el amor por el saber, el placer por el conocimiento, la independencia del criterio, el respeto por lo desconocido; la que les exigía coherencia lógica, la que se basaba en datos empíricos, la que les estaba labrando una conciencia política de ciudadanos, independiente de su status social, la que se enfrentaba al poder y el dogmatismo en defensa de la razón; la que no distinguía entre hombres y mujeres; [...] Una Hipatia resucitada o reencarnada, qué más da. O muchas Hipatias, un ejército de Hipatias luchando con sus enseñanzas contra la alienación que crece larvada en el seno de la mediocridad ..." (1)

Y tan sólo un poco después, ...

"- Por supuesto: el buen maestro enseña sobretodo a pensar. ¿No conoces la frase famosa de Hipatia I?
 - No
 - 'Pensar, aunque sea erróneamente, es mejor que no pensar'" (2)


Las citas (1) y (2) se las leía el último día a mis alumnos de bachillerato mientras se sentaban en sus pupitres y luchaban por mantenerse en ellos y poner un mínimo de atención en una clase en la que muchos de ellos no querían estar después de haber pasado muchas otras horas de esta semana en otras tantas en las que tampoco querían haber estado. Lo que entendieron o escucharon de ello queda en el entorno de sus mundos privados.

La cita (2) se la leía a mis alumos de 2º de la ESO. Algunos que me conocen desde hace más tiempo y son capaces de pensar tal vez fueran más allá, la mayor parte no distingue entre pensar y mecanizar de manera absurda que para sumar dos fracciones hay que hacer denominador común sin preguntarse nunca ¿por qué?